Question

Дана функция f(x) где f(x)=x в -3 степени. Найдите все значения х при которых выполняется неравенство х в квадрате/f(x)>64*f(1/x)

Answer 1

Требуется решить неравенство

 

$frac{x^2}{f(x)} > 64 cdot f(frac{1}{x})$

 

для функции, заданной как $f(u) = u^{-3}$.

 

В таком случае имеем

 

$frac{1}{f(x)} = frac{1}{x^{-3}} = x^3$

 

$fleft(frac{1}{x}right) = left(frac{1}{x}right)^{-3} = x^3$

 

Упрощаем неравенство

 

$frac{x^2}{f(x)} > 64 cdot f(frac{1}{x}) ; Leftrightarrow ; {x}^2 cdot {x}^3 > 64 cdot x^3$

 

${x}^5 - 64 cdot x^3 > 0$

 

${x}^3 left(x^2 - 64right) > 0$

 

${x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) > 0$

 

Имеем интервалы знакопостоянства:

 

$left(-infty;: -8right)$, где $x < -8$, например, -10)

 

$left(-8;: 0right)$, где $<var>{x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) > 0$

 

$left(0;: 8right)$, где $<var>{x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) < 0$

 

$<var>left(8;: +<var>infty</var>right)$ (чтобы узнать, что на этом интервале <0 или, наоборот, >0, можно подставить любое значение $x < -8$, например, -10)

 

$left(-8;: 0right)$, где $<var>{x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) > 0$

 

$left(0;: 8right)$, где $<var>{x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) < 0$

 

${x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) < 0$ (чтобы узнать, что на этом интервале <0 или, наоборот, >0, можно подставить любое значение $x < -8$, например, -10)

 

$left(-8;: 0right)$, где $<var>{x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) > 0$

 

$left(0;: 8right)$, где $<var>{x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) < 0$

 

$<var>left(8;: <var>infty</var>right)$, где ${x}^3 left(x - 8right)left(x 8right) > 0$, где $<var>left(8;: +<var>infty</var>right)$, где ${x}^3 left(x - 8right)left(x 8right) > 0$

 

 Ответ: при $-8 < x < 0$ и $x > 8$.

 

Условная запись ответа объединением множеств: $<var>x in (-8;;0) cup (+8; +infty)$

 

 Ответ: при $-8 < x < 0$ и $x > 8$.

 

Условная запись ответа объединением множеств: ${x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) > 0$

 

 Ответ: при $-8 < x < 0$ и $x > 8$.

 

Условная запись ответа объединением множеств: [tex]x in (-8;;0) cup (+8; +infty)" />