Question

Найдите наименьшее значение функции (задание В14) $y=frac{x^{2}+144}{x}$ на промежутке [0.14;14]

Answer 1

$y = frac{x^2 +144}{x}$
ОДЗ: х ≠ 0

Найдём производную и приравняем её нулю. Корни такого уравнения являются экстремумами.

$y' = (frac{x^2 +144}{x} )' = (x+ 144x^{-1})' = 1 - 144x^{-2} = 0 \ \ 1 = 144x^{-2} \ \ x^2 = 144 \ \ x = pm 12$

Сразу отметаем x = -12, т.к. данное значение не входит в указанный промежуток [0.14;14]. Остаётся только х = 12.
Производная в этой точке меняет знак с минуса на плюс. Проверяется просто в уравнение:
$1 - 144x^{-2} = 0 \ \ 1 - frac{144}{x^2} = 0$
подставим значение чуть меньше 12, например, 10, и чуть больше, например, 13. И сразу будет видно, что при х = 10 производная меньше нуля, а при х = 13 - больше нуля.
$1 - frac{144}{10^2} = 1 - frac{144}{100} = 1 - 1,44 textless 0 \ \ 1 - frac{144}{13^2} = 1 - frac{144}{169} = frac{169 - 144}{169} = frac{25}{169} textgreater 0$

Т.к. производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума.
Найдём значение функции в этой точке:
$y(12) = frac{12^2 +144}{12} = frac{12^2 + 12^2}{12} = frac{2*12^2}{12} = 2*12 = 24$
Для надёжности надо проверить значение функции на концах отрезка. Но там значения функции будет больше найденного.

Ответ: 24