Question

Найдите значение выражения: ³√(2+√5)+³√(2-√5) =

Answer 1

Обозначим сумму буквой с, а слагаемые буквами а и b.
Заметим, что ав=-1,  действительно (2+√5)*(2-√5)=4-5=-1 и корень кубический из этого числа тоже равен -1. Кроме того , заметим, что а^3 +b^3=4
Воспользуемся тождеством  (a+b)^3=a^3+b^3+3ab*(a+b)
Учитывая обозначения, и, замеченные свойства слагаемых, получим:
с^3=4-3c
c^3-1=3-3c
(c-1)*(c^2+c+1)=-3*(c-1)
Таким образом, видим, что с=1 - решение этого уравнения.
Поделим обе части на с-1.
Получим: c^2+c+0,25=-3,75  или (с+0,5)^2=-3,75  , что невозможно.
Значит решение единственно, с=1. Искомая сумма равна 1.

Answer 2

Если кто знает более "прямой" способ вычисления - напишите, пожалуйста!