Question

На длинной полоске бумаги выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, N. Полоску разрезали на пять частей и нашли среднее арифметическое чисел на каждой части. Получились числа 5,5; 18; 38; 75,5 и 175,5 в некотором порядке. Найдите N.

Answer 1

Пусть числа разбиты на 5 частей так:
123....k          (k+1).... p           (p+1)....s            (s+1).....n          (n+1)..... N
 k чисел          (р-k) чисел          (s-p) чисел          (n-s) чисел        (N-n) чисел

Среднее арифметическое чисел первой группы
$frac{1+2+...+k}{k}=5,5Rightarrow 1+2+3+...+k=5,5k$
Слева сумма k членов арифметической прогрессии
$frac{1+k}{2}cdot k=5,5k \ \ 1+k=11 \ \ k=10$

Среднее арифметическое чисел второй группы
$frac{(k+1)+(k+2)+...+p}{p-k}=18 \ \k=10 \ \ frac{11+12+...+p}{p-10}=18 \ \ frac{ frac{11+p}{2}cdot (p-10) }{p-10}=18 \ \ 11+p=36 \ \ p=25$

Среднее арифметическое чисел третьей группы
$frac{(p+1)+(p+2)+...+s}{s-p}=38 \ \p=25 \ \ frac{26+27+...+s}{s-25}=38 \ \ frac{ frac{26+s}{2}cdot (s-25) }{s-25}=38 \ \ 26+s=76 \ \ s=50$

Среднее арифметическое чисел четвертой группы
$frac{(s+1)+(s+2)+...+n}{n-s}=75,5 \ \s=50 \ \ frac{51+52+...+n}{n-50}=75,5 \ \ frac{ frac{51+n}{2}cdot (n-50) }{n-50}=75,5 \ \ 51+n=151 \ \ n=100$

Среднее арифметическое чисел пятой группы
$frac{(n+1)+(n+2)+...+N}{N-n}=155,5 \ \n=100 \ \ frac{101+102+...+N}{N-100}=175,5 \ \ frac{ frac{101+N}{2}cdot (N-100) }{N-100}=175,5 \ \ 101+N=351 \ \ N=250$
Ответ N=250

Answer 2

Вы там в конце ошиблись, по условию не 155,5, а 175,5 )

Answer 3

И не доказали, что суммы в группах обязаны располагаться по возрастанию. По условию ведь сказано, что они даны "в некотором порядке". Т.е. не факт, что они обязаны идти по возрастанию.

Answer 4

Спасибо, исправила

Answer 5

На длинной полоске бумаги выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, N. Полоску разрезали на пять частей и нашли среднее арифметическое чисел на каждой части. Получились числа
15,5; 40,5; 63; 100,5 и 138
в некотором порядке. Найдите N. а что будет если так?

Answer 6

Пусть наш ряд разбит на 5 групп таким образом:
(1,...а), (a+1,...b), (b+1,...,c), (c+1,..d), (d+1,..,N)
Тогда средние арифметические кусков будут соответственно:
s1=(1+a)/2, s2=(1+a+b)/2, s3=(1+b+c)/2, s4=(1+c+d)/2, s5=(1+d+N)/2
Очевидно, что s1<s2, т.к. b>0. Также,
s2<s3, т.к. a<c;
s3<s4, т.к. b<d и s4<s5, т.к. c<N.
Значит s1=5,5=(1+a)/2, откуда a=10.
s2=18=(1+a+b)/2, откуда b=25,
s3=38=(1+b+c)/2, откуда c=50,
s4=75,5=(1+c+d)/2, откуда d=100,
s5=175,5=(1+d+N)/2, откуда N=250.

Answer 7

Среднее арифметическое двух слагаемых делят на 2, трех - на три, а слагаемых - на а

Answer 8

я это и сделал, посмотрите внимательно.

Answer 9

сумма арифметической прогрессии - сумма первого и последнего пополам, умножить на количество элементов в ней. А среднее арифмтеическое элементов прогрессии - их сумма, деленная на количество элементов. Т.е. количество элементов сокращается. и остается то, что у меня написано.

Answer 10

Это понятно, просто фраза Тогда средние арифметические кусков будут соответственно:
s1=(1+a)/2, s2=(1+a+b)/2, s3=(1+b+c)/2, s4=(1+c+d)/2, s5=(1+d+N)/2

Answer 11

вводит в заблуждение