Question

Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие её с вершинами основания. Какую часть площади треугольника составляют каждая из 6-ти частей, на которые эти две прямые разделяют треугольники?

Answer 1

Дано:  ΔABC : AB=BC; BH⊥AC; BO=OH

Найти:  $S_{AOH}; S_{COH}; S_{AOK}; S_{CON}; S_{BOK}; S_{BON}$

$S_{ABC}=dfrac{ACcdot BH}{2}$

ΔABC - равнобедренный, высота BH является медианой и биссектрисой

⇒   AH = HC  ⇒   ΔABH = ΔCBH - по двум катетам. Дальше можно рассматривать только одну половинку равнобедренного треугольника.

$S_{AOH} = dfrac{AHcdot OH}{2}=dfrac{frac{AC}{2}cdot frac{BH}{2}}{2}=dfrac{1}{4}cdot dfrac{ACcdot BH}{2}=dfrac{1}{4}cdot S_{ABC}\ \ boxed{boldsymbol{S_{AOH} =S_{COH} =dfrac{1}{4}cdot S_{ABC}}}$

$S_{AOB}=dfrac{1}{2}cdot S_{ABC}-S_{AOH}=\ \~~~~~~~~~= dfrac{1}{2}cdot S_{ABC}-dfrac{1}{4}cdot S_{ABC}=dfrac{1}{4}cdot S_{ABC}$

У треугольников  AOK и BOK  одинаковая высота  OM.  Поэтому их площади будут пропорциональны основаниям  AK и KB. Чтобы найти отношение АК:КВ, достроим треугольник ABH до прямоугольника ALBH. LB=AH;  AL=BH;   LB║AH;  AL║BH

∠AKL=∠OKB - вертикальные углы.

∠LAK=∠OBK - накрест лежащие углы при AL║BH и секущей АВ.  ⇒  

ΔAKL ~ ΔBKO  подобны по двум углам:

$dfrac{AK}{KB}=dfrac{AL}{BO}=dfrac{2BO}{BO}=2~~~Rightarrow~~~boldsymbol{AK=2KB}~~~Rightarrow\ \ \S_{AOK}=dfrac{AKcdot OM}{2}=dfrac{2KBcdot OM}{2}=2cdot S_{BOK} \ \ S_{AOB}=dfrac{1}{4}cdot S_{ABC}\ \ S_{AOB}=S_{AOK}+S_{BOK}=dfrac{1}{4}cdot S_{ABC}\ \ 2cdot S_{BOK}+S_{BOK}=dfrac{1}{4}cdot S_{ABC}\ \ 3cdot S_{BOK}=dfrac{1}{4}cdot S_{ABC}~~~Rightarrow~~~S_{BOK}=dfrac{1}{12}cdot S_{ABC}\ \ boxed{boldsymbol{S_{BOK}=S_{BON}=dfrac{1}{12}cdot S_{ABC}}}$

$S_{AOK}=2cdot S_{BOK}=2cdot dfrac{1}{12}cdot S_{ABC}=dfrac{1}{6}cdot S_{ABC}\ \ \ boxed{boldsymbol{S_{AOK}=S_{CON}=dfrac{1}{6}cdot S_{ABC}}}$

Ответ: площади двух треугольников при основании равны и составляют 1/4 часть площади равнобедренного треугольника;

площади двух треугольников при вершине равны и составляют 1/12 часть площади равнобедренного треугольника;

площади двух треугольников при боковых сторонах равны и  составляют 1/6 часть площади равнобедренного треугольника.