Question

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница.

Answer 1

$int _0^1frac{6x+5}{sqrt{x^2-4x+8}}dx=int _0^1frac{6x+5}{sqrt{(x-2)^2+4}}dx=\\=[, t=x-2,x=t+2,dx=dt,t_1=0-2=-2,t_2=1-2=-1, ]=\\=int _{-2}^{-1}frac{6(t+2)+5}{sqrt{t^2+4}}dt=int _{-2}^{-1}frac{6t+17}{sqrt{t^2+4}}dt=3cdot int_{-2}^{-1}frac{2tcdot dt}{sqrt{t^2+4}}+17cdot int _{-2}^{-1}frac{dt}{sqrt{t^2+4}}=\\=3cdot 2sqrt{t^2+4}|_{-2}^{-1}+17cdot ln|t+sqrt{t^2+4}||_{-2}^{-1}=\\=6(sqrt5-sqrt8)+17(ln(sqrt3-1)-ln(sqrt8-2)).$

$2); int _0^{frac{pi}{2}}(x-2)sin7x, dx=[, u=x-2,; du=dx;\\ dv=sin7x, dx,; v=int dv=-frac{1}{7}cos7x; ; ; ; int ucdot dv=uv-int vcdot du, ]=\\=-frac{1}{7}(x-2)cos7x|_0^frac{pi}{2}}-int _0^{frac{pi}{2}}(-frac{1}{7})cos7x, dx=\\=-frac{1}{7}cdot ((frac{pi}{2}-2)cosfrac{7pi}{2}+2cos0)+frac{1}{7}cdot frac{1}{7}sin7x|_0^{frac{pi}{2}}=[, cosfrac{7pi}{2}=0,cos0=1]\\=-frac{1}{7}cdot 2+frac{1}{49}(sinfrac{7pi}{2}-sin0)=[, sinfrac{7pi}{2}=-1,; sin=0, ]=$

$=-frac{2}{7}-frac{1}{49}=-frac{15}{49}\\3); int_1^2frac{3x+5}{x(x^2-4x+8)}dx=I\\frac{3x+5}{x(x^2-4x+8)}=frac{A}{x}+frac{Bx+C}{x^2-4x+8}=frac{A(x^2-4x+8)+(Bx+C)cdot x}{x(x^2-4x+8)}\\3x+5=Ax^2-4Ax+8A+Bx^2+Cx\\x^2; ; |A+B=0; ,; ; B=-A=-frac{5}{8};\\x; ; ; |-4A+C=3; ,; ; C=3+4cdot frac{5}{8}=frac{11}{2};\\x^0; ; |8A=5; ,; ; ; A=frac{5}{8}.$

$I=frac{5}{8}int _1^2frac{dx}{x}+int_1^2frac{-frac{5}{8}x+frac{11}{2}}{x^2-4x+8}cdot frac{-8}{-8}cdot dx=ln|x||_1^2-frac{1}{8}int _1^2frac{5x-44}{(x-2)^2+4}dx=\\=[, t=x-2,x=t+2,dx=dt,t_1=-1,t_2=0, ]=\\=ln2-ln1-frac{1}{8}int _{-1}^0frac{5t-34}{t^2+4}dt=\\=ln2-frac{1}{8}cdot (frac{5}{2}int _{-1}^0frac{d(t^2+4)}{t^2+4}-34cdot 4cdot int _{-1}^0frac{dt}{t^2+4} )=\\=ln2-frac{5}{16}ln|t^2+4||_{-1}^0-17cdot frac{1}{2}arctgfrac{t}{2}|_{-1}^0=\\=ln2-frac{5}{16}(ln4-ln5)-$

$-frac{17}{2}(arctg0-arctg(-frac{1}{2}))=ln2-frac{5}{16}cdot lnfrac{4}{5}-frac{17}{2}arctgfrac{1}{2}.$