Question

Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием 4 корень из 2 и медианой к боковой стороне ,равной 5

Answer 1

AB=BC ; AC =4√2 ; MB =MC ; AM =5 .
------------------------------------
S=S(ABC) - ?

обозн.   <AMB =α .
Из треугольника  AMB по теореме косинусов:
AB² =  AM² +MB² -2AM*MB*cosα  (  1) ;
аналогично из ΔAMB: 
AC² =AM² +MC² -2AM*MC*cos(180° -α )  ⇔ 
AC² =AM² +MC² +2AM*MC*cosα    (2) ;
складывая   (1) и (2)  получаем :
AB²+.AC² =2AM² + 2MB² ⇔  AB²+.AC² =2AM² + 2(BC/2)²⇒4AM²=2(AB²+.AC²) -BC² ;

AM =(1/2)*√(2(AB²+.AC²) -BC² ) .  Эту известную формулу для вычисления медианы можно было применить сразу .
5 =(1/2) *√(2(AB² +(4√2)²) - AB²)⇔4*25 =AB² +64 ⇒AB =BC=6 .
Зная стороны треугольника можно вычислить ее площадь .
здесь удобно  S = 2S(ABM) =2√7*1*4*2 =4√14  (прим формула Герона).

ответ : 4√14  кв. ед.