Question

найдите расстояние от точки м с (2;-4;1) до точки пересечения прямой (х-2)/3=(у+1)/4=z/-3 и плоскости 5х-2у+z-3=0

Answer 1

Найдем точки пересечения прямой и плоскости
$frac{x-2}{3}= frac{y+1}{4}= frac{z}{-3}$
Где $overline{(3;4;-3)}$ - направляющий вектор
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде
$begin{cases} & text{ } x=x_0+tm \ & text{ } y=y_0+tn \ & text{ } z=z_0+tp end{cases}$
Где x0, y0, z0 - координаты данной прямой, в нашем случае x0=2, y0=-1, z0=0. m,n,p - координаты направляющего вектора
$begin{cases} & text{ } x=3t+2 \ & text{ } y=4t-1 \ & text{ } z=-3t end{cases}$
Подставляем в уравнение плоскости
$5(3t+2)-2(4t-1)-3t-3=0\ 15t+10-8t+2-3t-3=0\ 4t+9=0\ t=-2.25$
Находим точку пересечения прямой и плоскости
$x=3cdot(-2.25)+2=-4.75$
$y=4cdot(-2.25)-1=-10$
$z=3cdot(-2.25)=-6.25$

Находим расстояние от точки (2;-4;1) до точки пересечения (-4.75;-10;-6.25)
$d approx 10.2$