Question

помогите решить пример$left { {{2cos(2 pi/x) } + 4cos( pi/x) - 1 = 0 atop {4/(1-x)} geq 5} right.$

Answer 1

Из второго уравнения находим ОДЗ:
4≥5 - 5х
5х ≥ 1
х ≥ (1/5)
Знаменатель не может быть отрицательным и равным 0:
1 - х > 0
х <1.
Отсюда ОДЗ:  1> x ≥ (1/5)
Решаем 1 уравнение:
обозначим cos (2π/x) = .2cos²(π/x)-1,  cos(π/x) = y.
Тогда уравнение примет вид: 4y²+4y-3=0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: 
Ищем дискриминант:D=4^2-4*4*(-3)=16-4*4*(-3)=16-16*(-3)=16-(-16*3)=16-(-48)=16+48=64;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁=(√64-4)/(2*4)=(8-4)/(2*4)=4/(2*4)=4/8=0.5;
y₂=(-√64-4)/(2*4)=(-8-4)/(2*4)=-12/(2*4)=-12/8=-1.5.
Второй корень отбрасываем - косинус не может быть больше 1.
π / х = Arc cos(0,5) = (-π/3) + 2πk    x = 3π / (-π + 6πk) = 3 / (6k - 1),
π / x = Arc cos(0,5) = (π/3) + 2πk      x = 3π / (π + 6πk) = 3 / (6k + 1).
С учётом ОДЗ получаем значения:
х = 3 / 13
х = 3 / 11
х = 3 / 7
х = 3 / 5.