Question

Докажите что в десятичной записи числа 2^100 есть хотя бы 4 одинаковые цифры.
Принципом Дирихле пожалуйста.

Answer 1

Т.к. 2^10>10^3, то 2^100>10^30. Значит, в десятичной записи 2^100 имеется как минимум 31 цифра. Т.к. различных цифр всего 10 штук, то по обобщенному принципу Дирихле существует цифра, которя встречается как минимум $lceil31/10rceil=4$ раза.
Если не упоминать принцип Дирихле, то можно так доказать: если бы среди этих 31 цифр не было 4 одинаковых, т.е. каждая цифра от 0 до 9 встречалась не более 3-х раз, то это число было бы максимум 30-значным (3*10=30). Но наше число - как минимум 31-значное, значит среди его цифр обязаны быть 4 одинаковых цифры.