Question

Решить уравнение. Применив подстановку y = cosx - sinx, решите уравнение: 4-4(cosx - sinx) = sin2x

Answer 1

$4-4(cos x-sin x)=sin2x\ 4(sin^2x+cos^2x)-4(cos x-sin x)=sin2x\ 4(sin^2x+cos^2x-sin2x+sin2x)-4(cos x-sin x)=sin 2x\ 4(cos x-sin x)^2+4sin2x-4(cos x-sin x)=sin 2x\ 4(cos x-sin x)^2-4(cos x-sin x)+3sin2x=0$
Пусть $cos x-sin x=t,(|t| leq sqrt{2} )$, тогда возведем обе части до квадрата и получаем 1-sin2x=t², откуда sin2x=1-t²
$4t^2-4t+3(1-t^2)=0\ 4t^2-4t+3-3t^2=0\ t^2-4t+3=0$
По т. Виета
t1 = 1
t2 = 3 - не удовлетворяет условию при |t|√2

Возвращаемся к замене
$cos x-sin x=1\-  sqrt{2} sin(x- frac{pi}{4})=1\ x- frac{pi}{4}= (-1)^{k+1}cdotfrac{pi}{4}+pi k,k in Z\ x=(-1)^{k+1}cdotfrac{pi}{4}+frac{pi}{4}+pi k,k in Z$

Answer 2

Ошибка в 5-ой строке.

Answer 3

....+4sin2x-....=sin2x
.........-3sin2x=0
Должен быть +

Answer 4

Спасибо