Question

Sin(2x-7п/2)+sin(3п/2-8x)+cos6x=1
Решить уравнение

Answer 1

$sin(2x- frac{7pi}{2})+sin( frac{3 pi }{2} -8x)+cos6x=1\ cos 2x-cos8x+cos6x=1\ cos2x-2cos^24x+1+2cos^23x-1=1\ 2cos^2x-1-2((2cos^22x-1)^2)^2+2(4cos^3x-3cos x)^2=1\ 2cos^2x-1-2((2(2cos^2x-1)^2-1)^2+2(4cos^3x-3cos x)^2=1$
 Пусть $cos x = t,(|t| leq 1)$, тогда получаем
$2t^2-2(2(2t^2-1)^2-1)^2+2(4t^3-3t)^2-1=1$
$2t^2-2(8t^4-8t^2+1)^2+2(4t^3-3t^2)-2=0\ 2t^2-2(64t^8-128t^6+80t^4-16t^2+1)+2(16t^6-24t^4+9t^2)-2=0\ 2t^2-128t^8+256t^6-160t^4+32t^2-2+32t^6-48t^4+18t^2-2=0\128t^8-288t^2+208t^4-52t^2+4=0|:4\ 32t^8-72t^6+52t^4-13t^2+1=0$
Пусть $t^2=z,(z geq 0)$, тогда получаем
$32z^4-72z^3+52z^2-13z+1=0\ (32z^4-72z^3+1)+(52z^2-13z)=0\ (4z-1)(8z^3-16z^2-4z-1)+13z(4z-1)=0\ (4z-1)(8z^3-16z^2+9z-1)=0\ z_1= frac{1}{4} \ 8z^3-16z^2+9z-1=0$
 Разложим на множители
$8z^3-8z^2-8z^2+8z+z-1=0\ 8z^2(z-1)-8z(z-1)+(z-1)=0\ (z-1)(8z^2-8z+1)=0\ z_2=1\ 8z^2-8z+1=0$
Находим дискриминант
$D=b^2-4ac=(-8)^2-4cdot8cdot1=32;,, sqrt{D} =4 sqrt{2} \ z_3_,_4= frac{2- sqrt{2} }{4}$

Возвращаемся к замене от z

$t^2=frac{1}{4}\ t=pmfrac{1}{2}\ \ t^2=1\ t=pm1\ \ t^2= frac{2- sqrt{2} }{4}\ t=pm frac{sqrt{2- sqrt{2}} }{2}$

Возвращаемся к замене от t
$cos x=1\ x=2 pi n,n in Z\\ cos x=-1\ x= pi +2 pi n,n in Z\\ cos x=-0.5\ x=pm frac{2 pi }{3} +2 pi n,n in Z\ \ cos x=0.5\ x=pm frac{pi}{3}+2 pi n,n in Z \ \ cos x = frac{sqrt{2- sqrt{2}} }{2}\ x=pm arccos(frac{sqrt{2- sqrt{2}} }{2})+2 pi n,n in Z$
$\ cos x=-frac{sqrt{2- sqrt{2}} }{2}\ x=pm arccos(-frac{sqrt{2- sqrt{2}} }{2})+2 pi n,n in Z$