Question

Решить неравенство:
$0 leq |x^2+2x-15| textless 16$

Answer 1

По определению модуля:
1) если х²+2x-15≥0, то
$| x^{2} +2x-15|= x^{2} +2x-15$
Неравенство принимает вид

0≤х²+2x-15<16,
 которое можно записать в виде системы двух неравенств
$left { {{ x ^{2} +2x-15 geq 0} atop {x ^{2} +2x-15 textless 16} right.$
Решаем методом интервалов.
Корни квадратного уравнения
х²+2x-15=0
х=-5    или  х=3
Корни квадратного уравнения
х²+2x-15=16
х²+2x-31=0
х=-1-4√2  или  х=-1+4√2
\\\\\\\\\\\\\\\\\                ///////////////////////////////
-------(-1-4√2)------[-5]--------[3]----(-1+4√2)--------------
                 ///////////////////////////////////////////////
Ответ системы (-1-4√2;-5]U[3;-1+4√2)
2) если
если х²+2x-15<0, то
$| x^{2} +2x-15|= -x^{2} -2x+15$
Неравенство принимает вид
0≤-х²-2x+15<16, которое можно записать в виде системы неравенств:
$left { {{- x^{2} -2x+15 geq 0} atop {- x^{2} -2x+15 textless 16}} right.$
C учетом условия 2) система примет вид:
$left { {{- x^{2} -2x+15 textgreater 0} atop {- x^{2} -2x+15 textless 16}} right.$
Корни первого уравнения х²+2х-15=0
х=-5     или    х=3
Второе неравенство
 перепишем в виде
х²+2х+1>0  -  верно при всех х, кроме х=-1


Ответ второй системы (-5;3) за исключением х=-1
можно записать так
(-5;-1)U(-1;3)

Объединяем оба ответа  и получаем
х∈(-1-4√2;-1)U(-1;-1+4√2)

Ответ.х∈(-1-4√2;-1)U(-1;-1+4√2)