Question

BD - медиана треугольника ABC, |BD|=|AB|*(sqrt{3})/4 , а угол DBC=pi/2
Найти величину угла ABD (в градусах)

Answer 1

Продолжим медиану BD за точку D. На луче BD отложим отрезок DE=DB.
Получили BD=DE. А по условию AD=DC (медиана). Следовательно, четырехугольник АВСЕ - параллелограмм.
В этом параллелограмме диагональ ЕВ⊥BC (по условию ∠ DBC = 90°).
∠АВЕ=∠СЕВ (накрестлежащие). Значит, задача сводится к нахождению величины острого ∠ВЕС  прямоугольном ∆СВЕ.
Обозначим АВ=х, тогда и СЕ=х, Получим:
$BD=AB* frac{ sqrt{3} }{4} =x* frac{ sqrt{3} }{4} = textgreater BE=2BD=2*x*frac{ sqrt{3} }{4}=x*frac{ sqrt{3} }{2}$
В прямоугольном ∆СВЕ гипотенуза СЕ=х и прилежащий катет $BE=x*frac{ sqrt{3} }{2}$. $cos angle CEB = dfrac{EB}{CE} =x* frac{sqrt3}{2} :x=frac{sqrt3}{2} = textgreater \ \ angle CEB =angle ABD=30^o$