Question

Планета, имеющая форму шара, делает один оборот вокруг своей оси за v=2,7⋅10^(-5) c. Если плотность планеты ρ=0,7⋅10^3кг/м^3, то вес тела на полюсе превышает вес на экваторе на ...(%)?

Answer 1

Дано
Т=2,7*10^(-5) c период вращения планеты
ρ=0,7*10³ кг/м³ плотность вращения планеты
Натйти
$delta= frac{P_p-P_e}{P_p}cdot 100%$
На полюсе вес равен силе тяжести
$P_p=mg$ (1)
На экваторе он меньше за счет центробежной силы.
$P_e=m(g-a_c)$)
относительная разность весов:
$delta= frac{P_p-P_e}{P_p}cdot 100%$ (3)

NB. Тут правда есть один условность. Что мы принимаем за 100%. Я принимал полярный вес, но можно было и иначе. Чтобы не возникало неоднозначности лучше было бы запросить отношения весов $frac{P_p}{P_e}$. Т.е спросить во сколько раз скажем полярный вес больше экваториального.

$delta= frac{P_p-P_e}{P_p}cdot 100% = frac{mg-m(g-a_c)}{mg}*100% = frac{g-(g-a_c)}{g}*100%= frac{a_c}{g} *100%$ (4

При этом из закона всемирного тяготения и "геометрических соображений" выражаем g:
$g= frac{GM}{R^2} = frac{Grho frac{4}{3} pi R^3 }{R^2}= {Grho frac{4}{3} pi R }$ (5)


Ускорение $a_c$:
$a_c=frac{v^2}{R} = frac{(2 pi R/T)^2}{R}= frac{4 pi ^2R}{T^2}$ (6)
Подставляем (5), (6) в (4)
$delta=frac{a_c}{g} *100%=( frac{4 pi ^2R}{T^2})/(Grho frac{4}{3} pi R) *100%=( frac{pi }{T^2})/(Grho frac{1}{3} ) *100%=newline newline = frac{3 pi }{Grho T^2} *100%$
 
$delta=frac{3 pi }{Grho T^2} *100%$(6)
Вот только возникают сомнения насчет правильности данных о периоде вращения. Надо проверить вдруг $a_c textgreater g$? В этом случае любое тело улетит с экватора. Тогда и пользоваться формулой (6) некорректно.
Проверим
$a_c= frac{4 pi ^2R}{T^2}= frac{4 pi ^2R}{(2,7*10^{-5})^2}approx 5,41542*10^{10} R$

$g= frac{GM}{R^2} = {Grho frac{4}{3} pi R }=6,67*10^{-11}*0,7*10^3* frac{4}{3}* pi *Rapprox newline newline approx 19,55746*10^{-8} R$
 Ну видно невооруженным глазом, что
$a_c textgreater textgreater g$
При таком раскладе с экватора улетит все что можно, я подозреваю, что планету  вообще разорвет в клочья( Если в природе вообще возможно такое ускорение)
Значит полагаем ошибка в условии и
T=2,7*10⁵ c
 
Тогда согласно (6):
$delta=frac{3 pi }{Grho T^2} *100%approx frac{3 pi }{6,67*10^{-11}*0,7*10^3*2,7^2*10^{10}}*100% approx newline approx 0,2769*10^{-2}*100%approx0,277 %$

Answer 2

Ну вот это по -моему больше похоже на правду.