Question

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей. С подробным решением!

Answer 1

пусть катеты a и b, тогда
a+b=40
площадь треугольника это полупроизведение катетов, т.е. S=0,5*a*b 
если из a+b=40 выразить b и подставить в площадь, то получится
b=40-a
S=0,5*a*(40-a)=20a-0,5a^2
нам нужно наибольшее значение площади, берем производную
S'=20-a
получается при a=20 будет наибольшая площадь
если a=20, то и b=20
ответ: 20 и 20

Answer 2

$x+y=40 \ S= frac{xy}{2} \ x+y=40Rightarrow x=40-y \ S(y) =frac{(40-y)y}{2}= frac{1}{2}(40-y)y \ S'(y)= frac{1}{2}[(40-y)'y+(40-y)y'] \ S'(y)= frac{1}{2}[(-1)y+(40-y)*1] \ S'(y)= frac{1}{2}(-y+40-y)= frac{1}{2}(40-2y)=20-y \ S'(y)=0iff 20-y=0iff y=20 \ S''(y)=(20-y)'=-1 textless 0Rightarrow S_{MAX}= frac{20*20}{2}=200 \ y=40-x=40-20=20 \ x=y=20$