Question

Биссектриса угла А поямоугольника АВСD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение АВ:АD, если отношение площади треугольника АВК к площади трапеции АКСD равно 3/7.

Answer 1

АК- биссектриса=>
ΔABK -равнобедренный прямоугольный
пусть АВ=х,
SΔABK=(x*x)/2, SΔABK=x²/2
трапеция AKCD:
КС=ВС-ВК
КС=у, BC=x+y, ⇒AD=x+y
AB=CD=h=x
SAKCD=(y+(x+y))*x/2, SAKCD=(x+2y)*x/2

SΔABK:SAKCD=3:7
x²/2 :(x+2y)*x/2=3:7, x/(x+2y)=3/7
4x=6y, x=1,5y
AB=1,5y,    AD=1,5y+y, AD=2,5y
AB:AD=1,5y:2,5y
AB:AD=3:5 или AB:AD=0,6

Answer 2

Вариант решения. 
Пусть коэффициент отношения площадей равен 1. 
Тогда площадь  тр-ка АВК=3, площадь трапеции АКСД=7 
Биссектриса угла параллелограмма ( а прямоугольник - параллелограмм) отсекает от него равнобедренный треугольник. АВ=ВК=а
S ABK=a²/2=3 
a=√6 
Опустим из К перпендикуляр КН на АД. 
АВКН- квадрат, АН=КН=а=√6.
Пусть НД=х. 
Тогда АД=√6+х.  
S КСДН=S АКСД- АКН 
S AKH=S АВК=3 
S КСДН=7-3=4 
S КСДН=СД*ДН=√6*х=4 ⇒ 
х=4/√6 
АД=√6+4/√6=10/√6 
АВ:АД=√6:(10/√6)=6/10=3/5