Question

Точка перетину діагоналей паралелограма рівновіддалена від його сторін, одна з яких дорівнює 5 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо одна з його висот дорівнює 4 см.

Answer 1

Если точка пересечения диагоналей параллелограмма равноудалена от его сторон, значит эти диагонали являются биссектрисами углов параллелограмма, а сам параллелограмм, следовательно, является ромбом и его стороны равны.
Опустим высоту из тупого угла В на сторону АD. получили Пифагоров треугольник, в котором гипотенуза (сторона ромба) равна 5, катет (высота  ромба) равна 4, значит второй катет равен 3. Тогда косинус угла А ромба равен 3/5.
По теореме косинусов найдем его диагонали.
Заметим, что <B=180-<A и значит cosB=-cosA. Тогда
BD²=25+25-2*5*5*CosA = 50-30=20. BD=2√5.
AC²=25+25+2*5*5*CosB = 50+30=80. BD=4√5.