Question

при каких значениях параметра а неравенство верно для любого х:
$frac{8 x^{2} -20x+16}{4 x^{2} +10x+7} leq a$ ?

В ответ укажите самое маленькое целое число, принадлежащее множеству решений. Если ответом будет −∞, то укажите -1.

Или я что-то не понимаю, или у меня почему-то не сходится ответ...

Answer 1

ОДЗ
$4x^2+10x+7 neq 0\D textless 0$
парабола ветви вверх, нулей нет, значит выше оси ОХ, поэтому знаменатель строго больше нуля при всех икс
Поэтому умножим обе части неравенства на знаменатель (знак соотвественно не меняется)
$8x^2-20x+16 leq a(4x^2+10x+7)\4x^2(2-a)-10x(2+a)+(16-7a) leq 0$
рассмотрим а=2. В этом случаем имеем линейное уравнение
$4x^2(2-2)-10x(2+2)+(16-7cdot 2) leq 0\-40x+2 leq 0\x geq frac{1}{20}$
т.е. неравентсво верно не при всех икс при этом значении а, поэтому не подходит

рассмотрим а<2,имеем квадратное уравнение, вветви вверх (т.к. коэффициент при икс в квадрате положителен)
неравенство будет верно только в одной точке, где парабола обращается в нуль, т.е. этот вариант тоже не подходит

рассмотрим а>2, парабола вветви вверх, чтобы выполнялось неравенство при всех икс, нужно чтобы дискриминант был неположительный
$D=100(2+a)^2-4cdot4(2-a)(16-7a)=-12a^2+880a-112\\-12a^2+880a-112 leq 0$
$a_{1,2}= dfrac{-880pm32 sqrt{751} }{-24} \\ain(-infty,a_1)cup(a_2,+infty)$
т.к. мы расматриваем а>2, то $a textgreater dfrac{-880pm32 sqrt{751} }{-24} approx 73,2$
самое маленькое целое 74