Question

Решить уравнение: 3tgx=2корень5cos(x/2)

Answer 1

$3tg x=2 sqrt{5} cos frac{x}{2} \ 3cdot frac{sin x}{cos x} =2 sqrt{5} cos frac{x}{2}\ 3cdot frac{| sqrt{1-cos^2x} |}{cos x} =2 sqrt{5} cdot | sqrt{ frac{1+cos x}{2} }|$
 Пусть $cos x=t,(|t| leq 1)$
$3cdot frac{| sqrt{1-t^2} |}{t} =2 sqrt{5} cdot | sqrt{ frac{1+t}{2} } |$
Находим ОДЗ
  $t geq -1\ 1-t^2 geq 0\ tne 0$
После нахождения ОДЗ имеем уравнение без модулей
$3cdot frac{ sqrt{1-t^2} }{t} =2 sqrt{5} cdot sqrt{ frac{1+t}{2} }$
$(3cdot frac{ sqrt{1-t^2} }{t})^2 =(2 sqrt{5})^2 cdot ( sqrt{ frac{1+t}{2} } )^2\ frac{9(1-t)(1+t)}{t^2} =10(1+t)|cdot t^2\ 9(1-t)(1+t)-10t^2(1+t)=0\ (1+t)(9-9t-10t^2)=0\ t_1=-1\ 10t^2+9t-9=0\ D=b^2-4ac=81+9cdot4cdot10=441\ t_1=-1.5\ t_2= frac{3}{5}$
Корень t=-1.5 не удовлетворяет условие при |t|≤1, или ОДЗ

Возвращаемся к замене
$cos x=-1\ x= pi +2 pi n,n in Z\ \ cos x=frac{3}{5}\ x=pmarccos(frac{3}{5})+2pi n,n in Z$