Question

Дана функция f(x) = (x^2 - k)/(x^2 - 9). Касательная в точке у=2 параллельна оси ОХ.
1. Найти крайние точки
2. Найти k
3. Доказать, что данная функция - квадратичная.

Answer 1

Область определения функции

 (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞)
1) ? не поняла какие крайние? может область определения, тогда см. выше
2)
Находим производную
$f`(x)=( frac{ x^{2} -k}{ x^{2} -9})`= frac{( x^{2} -k)`( x^{2} -9)-( x^{2} -k)( x^{2} -9)`}{( x^{2} -9) ^{2} }= \ \ = frac{2xcdot( x^{2} -9)-( x^{2} -k)cdot 2x}{( x^{2} -9) ^{2} }= frac{2x( x^{2} -9- x^{2} +k)}{(x-3) ^{2} } = frac{2xcdot(k-9)}{( x^{2} -9) ^{2} }$

Если у=2, то
$2=frac{ x^{2} -k}{ x^{2} -9} \ \ 2 x^{2} -18= x^{2} -k \ \ x^{2} =18-k \ \ x_1= sqrt{18-k} \ \ x_2=- sqrt{18-k}$

По условию, касательная в точке  у=2     ( х₁=√(18-k)  или х₂=-√(18-k) )  параллельна оси х, т.е угловой коэффициент такой прямой равен 0.

Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной функции в этой точке.

Значит
$f`( sqrt{18-k} )= frac{2cdot sqrt{18-k} cdot(k-9)}{( ( sqrt{(18-k)} ^{2} -9) ^{2} }=frac{2cdot sqrt{18-k} cdot(k-9)}{( 9-k) ^{2} } \ \ f`( -sqrt{18-k} )= frac{2cdot (- sqrt{18-k}) cdot(k-9)}{( (- sqrt{(18-k)} ^{2} -9) ^{2} }=-frac{2cdot sqrt{18-k} cdot(k-9)}{( 9-k) ^{2} }$

Приравниваем найденные в точках производные к нулю, находим k
$frac{2cdot sqrt{18-k} cdot(k-9)}{( 9-k) ^{2} }=0$
или
$-frac{2cdot sqrt{18-k} cdot(k-9)}{( 9-k) ^{2} }=0$
k≠9
получаем
k=18
3)
Докажем четность
По определению функция является четной, если
1) область определения симметрична относительно 0
2) f(-x)=f(x)

У данной функции область определения
(-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞) -  симметрична относительно 0

$f(- x)=frac{ (-x)^{2} -k}{(-x)^{2} -9}= frac{ x^{2} -k}{ x^{2} -9}=f(x)$

Функция четна.