Question

помогите решить задачу

Answer 1

$left { {{x sqrt{y}+y sqrt{x}=6} atop {x^{2}y+xy^{2}=20}} right.$

Замена:
$x sqrt{y}=t>0$
$y sqrt{x}=m>0$

$left { {{t+m=6} atop {t^{2}+m^{2}=20}} right.$

$left { {{t^{2}+m^{2}+2tm=36} atop {t^{2}+m^{2}=20}} right.$

$left { {{20+2tm=36} atop {t^{2}+m^{2}=20}} right.$

$left { {{tm=8} atop {t^{2}+m^{2}=20}} right.$

$t^{2}+ frac{64}{t^{2}} =20$
$frac{t^{4}-20t^{2}+64}{t^{2}} =0$
$t^{4}-20t^{2}+64=0$

Замена: $t^{2}=k textgreater 0$
$k^{2}-20k+64=0, D=400-4*64=144=12^{2}$
$k_{1}= frac{20-12}{2}=4$
$k_{2}= frac{20+12}{2}=16$

Вернемся к замене:
1) $t^{2}=4$
$t_{1}=2$
$m_{1}=4$
$t_{2}=-2<0$ - посторонний корень
2) $t^{2}=16$
$t_{3}=4$
$m_{3}=2$
$t_{4}=-4<0$ - посторонний корень

Вернемся к замене:
1) $left { {{x sqrt{y}=4} atop {y sqrt{x}=2}} right.$
$sqrt{y}= frac{2}{x}$
$y= frac{4}{x^{2}}$
$frac{4 sqrt{x} }{x^{2}}=4$
$x=1$
$y=4$
(1; 4)
2) $left { {{x sqrt{y}=2} atop {y sqrt{x}=4}} right.$
$sqrt{y}= frac{4}{x}$
$y= frac{16}{x^{2}}$
$frac{16 sqrt{x} }{x^{2}}=2$
$frac{8 sqrt{x} }{x^{2}}=1$
$8 sqrt{x}=x^{2}$
$64x-x^{4}=0$
$x*(64-x^{3})=0$
$x=4$
$y=1$
(4; 1)

Ответ: (1; 4), (4; 1)