Question

Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N.
а) Докажите, что периметр треугольника АMN равен АB+АC.
б) Найдите периметр этого треугольника, если известно, что площадь треугольника АВС равна √15, ВС=2, а отрезок АО в 4 раза больше радиуса вписанной в треугольник АВС окружности.

Answer 1

а) Периметр треугольника AMN равен АМ+AN+MN. Центр вписанной окружности О лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника АВС. Следовательно, треугольник ОМВ  равнобедренный, так как <MOB=<OBC (как накрест лежащие при параллельных прямых
MN и ВС и секущей ОВ), а <MBO=<OBC (так как ОВ - биссектриса угла В треугольника АВС). Отсюда МВ=МО.  Точно так же в треугольнике NOC имеем ON=NC. MN = MO+ON или MN=MB+NC. AB=AM+MB, AC=AN+NC. Тогда периметр треугольника AMN равен
АМ+AN+NO+OM = АМ+AN+NC+MB = АВ+АС, что и требовалось доказать.

б) Из прямоугольного треугольника АОР (радиус в точку касания перпендикулярен касательной) имеем: АР=√(AO²-OP²)=√(16r²-r²) = r√15. Тогда по свойству: "Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 = p-c", где  с- сторона, лежащая против угла С, имеем: АВ+АС-ВС = 2r√15  (1).
С другой стороны по формуле площади треугольника имеем: Sabc=p*r, где р - полупериметр треугольника АВС. Отсюда r=S/p = 2√15/(AB+AC+BC). (2)
Подставляем (2) в (1): АВ+АС-ВС = 2*(2√15/(AB+AC+BC))*√15. ВС=2, тогда 
АВ+АС-2 = 2*(2√15/(AB+AC+2))*√15.  Или (АВ+АС-2 )*(AB+AC+2)=4*15. Или  (АВ+АС)²-4=4*15, отсюда
(АВ+АС)=√(4(1+15))=8.Но выше мы доказали, что АВ+АС - это периметр треугольника AMN.
Ответ: Pamn=8.

Answer 2

Огромное спасибо!)