Question

1)Напишите уравнение параболы, если известно, что парабола проходит через точку А(-2;2), а её вершина точка В(5;0)
2)Найдите наибольшее наименьшее значение функции :
у=х2-8х+19
у=-х2+5х
у=-х2+2х-3
у=х2-7х+2

Желательно фотку с решениями(ДЛЯ 2 ЗАДАНИЯ)

Answer 1

1. Вершина квадратной параболы является точкой её экстремума (максимума при отрицательном значении коэффициента при х² или минимума при его положительном значении).
В общем виде уравнение квадратной параболы можно записать в следующем виде: $y=k(x-p)^2+q$, где q определяет ординату (т.е. значение по оси у) точки экстремума, -р определяет абсциссу (т.е. значение по оси х) точки экстремума, а k - это коэффициент, который показывает, насколько сжаты (k>1) или расширены (k<1) ветви заданной параболы относительно параболы с уравнением y=x². Положительный знак k говорит о том, что ветви параболы будут направлены вверх и экстремум является минимумом, а отрицательный знак k показывает, что ветви параболы направлены вниз и экстремум является максимумом. Фактически, k определяет точки, отличные от точки экстремума, через которую обязаны пройти ветви параболы.
В нашем случае вершина параболы (точка В) лежит на оси х и сдвинута относительно начала координат на +5. Т.е. мы сразу можем записать, что q=0, p=-5. Тогда искомая функция примет вид:
$displaystyle y=k(x-5)^2 to k= frac{y}{(x-5)^2};$
У нас имеется точка А(-2;2), координаты которой мы и подставим в полученную формулу для нахождения k:
$displaystyle k= frac{y}{(x-5)^2}=frac{2}{(-2-5)^2}= frac{2}{49}$
Окончательно, уравнение параболы будет иметь следующий вид:
$displaystyle y= frac{2}{49}(x-5)^2$
При желании, это уравнение можно привести к "классическому" виду:
$displaystyle frac{2}{49}(x-5)^2= frac{2}{49}(x^2-10x+25)= frac{2}{49}x^2-frac{20}{49}x+frac{50}{49}; \ y=frac{2}{49}x^2-frac{20}{49}x+frac{50}{49}$

2. Как было рассмотрено выше, экстремумы квадратичной функции находятся в точке с координатами (-p,q). В условии функции заданы в канонической форме y=ax²+bx+c, поэтому сначала найдем формулы, связывающие искомые p,q с известными a,b,c.
С этой целью выделим в уравнении y=ax²+bx+c полный квадрат: $displaystyle ax^2+bx+c= a(x^2+ frac{b}{a}x+ frac{c}{a})= \ aleft[left( x^2+ 2frac{b}{2a}x+left( frac{b}{2a}right)^2right)+left(-left( frac{b}{2a}right)^2+ frac{c}{a}right)right]= \ aleft[left( x+frac{b}{2a}right)^2+left(-left( frac{b}{2a}right)^2+ frac{c}{a}right)right]=aleft( x+frac{b}{2a}right)^2+left(c- frac{b}{4a}right); \ k=a; quad p=frac{b}{2a}; quad q=c- frac{b}{4a}$
Для решения поставленной задачи представляет интерес определение величины -p - абсциссы точки экстремума. Ордината, т.е. значение экстремума, будет найдена путем подстановки величины -p вместо х в исходное уравнение.
$displaystyle a) y=x^2-8x+19; p= frac{b}{2a}= frac{-8}{2}=-4; y(4)=16-32+19=3 \ b) y= -x^2+5x; p= frac{5}{-2}=-2.5; y(2.5)=-6.25+12.5=6.25 \ c) y=-x^2+2x-3; p= frac{2}{-2}=-1; y(1)=-1+2-3=-2 \ d) y=x^2-7x+2; p= frac{-7}{2}=-3.5; p(3.5)=12.25-24.5+2=-10.25$