Question

Помогите решить!


В прямоугольном ∆АВС угол С =90 градусов, CD – высота, а один из катетов вдвое больше другого. В ∆ACD и ∆BCD проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь ∆АВС, если KP=4.

Answer 1

Высота прямоугольного треугольника делит его на подобные треугольники.
 1) ⊿ АВС~⊿ АСD . ⇒АD:СD=2:1 
⊿ АСD ~⊿ ВСD =СD:ВD=2:1 
2) Углы АDС и ВDС прямые, биссектрисы DК и DР делят их пополам,  а именно на углы, равные 45º,  ⇒ угол КDР=90º 
3) В четырехугольнике КDРС углы КСР+КDР=180º.
Сумма углов четырехугольника равна 360º.  ⇒углы DКС+DРС=180º 
Если суммы противоположных углов четырехугольника равны 180º, около него можно описать окружность. 
хорда КР - диаметр этой окружности, т.к на на нее опираются углы, равные 90º. 
4) Вписанный угол КРС опирается на дугу, стягиваемую хордой КС. На неё же опирается угол КДС ⇒ угол КРС=угол КДС=45º.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º 
Угол СКР - второй острый угол прямоугольного треугольника КСР ⇒ он равен 45º⇒
 Треугольник КСР- равнобедренный. ⇒ 
KC=СР=КР*sin 45º=4*(√2)/2=2√2 
5) Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.⇒
СР:РВ=2:1⇒
2 РВ=2√2 
РВ=√2 
BC= СР+РВ=2√2+√2=3√2
АС=2 ВС=6√2 
6) S⊿ ABC=AC*BC:2=(6√2*3√2):2=18(ед. площади)