Question

Из нескольких одинаковых кубиков Вася сложил большой куб и покрасил его грани. Оказалось, что число кубиков с одной покрашенной гранью равно числу кубиков, у которых покрашенных граней нет (и при этом не равно 0). Сколько маленьких кубиков использовал Вася?

Answer 1

Пусть длина большого куба равна длине k маленьких кубиков.
Тогда общее число кубиков
$N=k^3$ (1)
кубиков крашенных с одной стороны на одной грани (k-2)*(k-2)
на 6ти гранях общее число крашеных с одной стороны кубиков
$N_1=6(k-2)(k-2)$  (2)
Количество некрашеных кубиков будет
$N_0=(k-2)^3$  (3)
По условию N₀=N₁ Т.е.
$6(k-2)(k-2)=(k-2)^3$ (4)
Теперь осталось решить (4) относительно k
$6(k-2)(k-2)=(k-2)^3 newline 6(k^2-4k+4)=(k-2)(k^2-4k+4) newline 6k^2-24k+24=k^3-4k^2+4k-2k^2+8k-8 newline 6k^2-24k+24=k^3-6k^2+12k-8 newline k^3-12k^2+36k-32=0$
ОДНАКО!, если не напутали , получили полное кубическое уравнение
$k^3-12k^2+36k-32=0$ (5)
Ну и оно решается, правда по более хитрым формулам
Приводим его к "каноническому" виду. Для этого делаем подстановку.
(вводим новую переменную х)
Rem Любое кубическое уравнение вида
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
можно привести к виду
$y^3+py+q=0$
где y- новая переменная
$y=x- frac{b}{3a}$
p,q:
$p= frac{c}{a} - frac{b^2}{3a^2}$
$q= frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

У нас
$k=x+ frac{12}{3} =x+4$ (6)
$p= frac{36}{1} - frac{12^2}{3} =36-48=-12$
$q= frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}= newline newline = frac{2(-12)^3-9cdot 1 cdot (-12)cdot36+27 cdot (-32)}{27}= frac{-432}{27} =-16$
Получаем уравнение
$x^3-12x-16=0$    (7)
Определим аналог дискриминанта Q
$Q=( frac{p}{3} )^3+( frac{q}{2} )^2$
$Q=( frac{p}{3} )^3+( frac{q}{2} )^2=Q=( frac{-12}{3} )^3+( frac{-16}{2} )^2=(-4)^3+(-8)^2=-64+64=0$

$x_1= alpha + beta newline x_2=- frac{ alpha + beta }{2} pm j frac{ alpha - beta }{2} cdot sqrt {3}$
j  - мнимая единица

$alpha = sqrt[3]{ -frac{q}{2} + sqrt{Q} } newline newline beta = sqrt[3]{ -frac{q}{2} - sqrt{Q} }$
$alpha = sqrt[3]{ -frac{q}{2} + sqrt{Q} } =sqrt[3]{ frac{16}{2} + sqrt{0} }= sqrt[3]{ 8}=2 newline newline beta = sqrt[3]{ -frac{q}{2} - sqrt{Q} }=sqrt[3]{ frac{16}{2} - sqrt{0}}=sqrt[3]{ 8}=2$

$x_1= 2+2 =4 newline x_2=- frac{2+2}{2} +j0=-2$  (8)
Два корня для канонического уравнения (7)
Возвращаемся к нашей переменной k
k=x+4
$k_1=4+4=8 newline k_2=-2+4=2$  (9),
что соответствует общему числу кубиков
$N=k_1^3=8^3=512 newline N=k_2^3=2^3=8$ (10)
Проверяем выполнение условий формулы громоздкие, могли и хомутнуть
для k₁
$6(k_1-2)^2=6(8-2)^2=6 cdot 36=216 newline (k_1-2)^3=6^3=216$  ок
для k₂ =2 получаем N₀=0, N₁=0
 
Тогда остается один ответ
ОТВЕТ: 512 кубиков

Answer 2

Нет! Ну ВАСЯ точно из сумашедшего дома, 512 кубиков он складывает! (Хотя при пайке некоторых схем,доводилось впаивать несколько сотен деталей)

Answer 3

Вот гляжу на это безобразие и думаю, а нельзя ли было просто в уравнении 4 сократить на (k-2)^2 и не ломиться через кубическое уравнение?