Question

Окружности S1 и S2 с центрами в точках О1 и О2 и радиусами 5 и 12 соответственно пересекаются в точках А и В. Прямая О2В является касательной к окружности S1. Прямая О1А вторично пересекает окружность S1 в точке C. Прямая О2А вторично пересекает окружность S2 в точке D. Касательная к окружности S2 в точке D и прямая О1О2 пересекаются в точке Е. Найдите площадь четырёхугольника EDCO1.

Answer 1

  Угол $angle O_{1}BO_{2} = 90а$ , откуда    $O_{1}O_{2} = sqrt{12^2+5^2}=13$ , $O_{1}A=5 , O_{2}A=12$ 
Значит угол $angle CAD = angle O_{1}BO _{2} = 90а$          
$AO_{2} = O_{2}D\ angle AO_{2}O_{1} = DO_{2}E \ angle O_{2}E D = angle AO_{1}O_{2}$   
Из подобия треугольников $Delta AO_{1}O_{2} , Delta O_{2}DE$ 
$frac{ED}{5}=1\ ED=5$                    
 $frac{12}{sinangle AO_{1}O_{2}} = 13 \ sinangle AO_{1}O_{2}= frac{12}{13}$ , $angle CO_{1}B = 180а - 2*arcsin(frac{12}{13})$ 
   $angle O_{1}O_{2}B = arcsinfrac{5}{13} \ angle O_{2} = 180а - 2*arcsin frac{5}{13}$  
       $S_{EDCO_{1}} = S_{CO_{1}B} + S_{O_{1}O_{2}B } * 2 + S_{BO_{2} D } = \ frac{12}{2}*5*2 + frac{25*sin( 2*arcsinfrac{12}{13} ) }{2} + frac{12^2*sin(2arcsinfrac{5}{13})}{2} = 60 + 60 = 120$