Question

В двадцатиугольнике провели все диагонали. Оказалось, что никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько всего точек пересечения у диагоналей такого двадцатиугольника?

Answer 1

В предположении, что 20-угольник выпуклый, или в предположении, что диагонали - это прямые содержащие диагонали, решение будет таким. Каждые четыре вершины однозначно задают ровно одну точку пересечения диагоналей (точку пересечения диагоналей этого 4-угольника). Поэтому количество точек пересечения диагоналей равно количеству способов выбрать 4 вершины из 20, т.е. $C_{20}^{4}=20!/(4!\cdot 16!)=17\cdot 18\cdot 19\cdot 20/24=4845.$