Question

Помогите! Найдите такое значение a>1, при котором уравнение a^х=logx по основанию а имеет единственное решение. В ответе укажите число e⋅lna.

Answer 1

$a^x = log_{a}x$ 
 функция $f(x) = a^x$ при     $a\ \textgreater \ 1$ , монотонно возрастает      $x \in (-\infty ; +\infty )$ , а функция  $f(x) = log_{a}x$    $a\ \textgreater \ 1$ монотонно  возрастает на $x \in (0; \infty)$         
Если касательная имеет   вид $y=kx+c$ 
$f'(x) = \frac{1}{x lna} \\ f'(x)=a^xlna \\ y=kx+c \\ x_{0}=b \\ \frac{ (x-b)}{blna}+log_{a}b = a^{b}(1 + lna*(x-b)) \\ x-b +lna^b*log_{a}b = lna^b(a^b+a^b*lna*(x-b))$      
отсюда        
$b*a^b*ln^2a = 1 \\ log_{a}b = a^b \\\\ log_{a}b^b*ln^2a = 1 \\ log_{e}^2a= log_{b}a^{\frac{1}{b}} \\ b=e \\ a=e^{\frac{1}{e}}$ 
 Ответ $1$