Question

Две стороны треугольника не равны друг другу, докажите ,что медиана, проведённая из их общей вершины, образует с большей из этих сторон меньший угол.

Answer 1

Пусть дан треугольник АВС. АС  больше АВ. Медиана АМ. М - середина ВС.Проведем биссектрису  АО, где О лежит на ВС.. Известно, что биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон ( это известная теорема доказывается так: сторона  ВА продолжается на величину АС, так, что получатся точка У и АУ=АС, легко видеть, что УС -параллельна биссектрисе). Итак : ОС больше ОВ.
Угол ВАС обозначим а. Угол ОАМ обзначим х. Тогда  угол МАС равен а/2-х, а угол МАВ=а/2+х, т.е МАС меньше МАВ, что и требовалось.