Question

тригонометрическое уравнение
$sin2x+3=3sinx+3cosx$

Answer 1

$\sin 2x+3=3\sin x+3\cos x\\ \sin 2x+3(\sin^2x+\cos^2x)-3(\sin x+\cos x)=0\\ \sin2x+3(\sin^2x+\cos^2x+\sin2x-\sin2x)-3(\sin x+\cos x)=0\\ \sin 2x+3((\sin x+\cos x)^2-\sin2x)-3(\sin x+\cos x)=0\\ \sin2x+3(\sin x+\cos x)^2-3\sin2x-3(\sin x+\cos x)=0\\ 3(\sin x+\cos x)^2-3(\sin x+\cos x)-2\sin 2x=0$
 Пусть $\sin x+\cos x=t\,(|t| \leq \sqrt{2} )$, тогда возведем обе части в квадрат: $1+\sin2x=t^2$, откуда $\sin2x=t^2-1$
Заменяем
$3t^2-3t-2(t^2-1)=0\\ 3t^2-3t-2t^2+2=0\\ t^2-3t+2=0$
По т. Виета
$t_1=2$ - не удовлетворяет условию при $|t| \leq \sqrt{2}$
$t_2=1$

Возвращаемся к замене
$\sin x+\cos x=1$

А теперь есть формула
 $a \sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm\arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} })$
В нашем случае
$\sqrt{1^2+1^2}\sin (x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{1^2+1^2} } )=1\\ \sqrt{2}\sin (x+ \frac{\pi}{4})=1\\ \sin (x+ \frac{\pi}{4})= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x+\frac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z\\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z$