Question

Доказать что значение выражения $((7+2*10^ \frac{1}{2} )^ \frac{1}{2}+(7-2*10^ \frac{1}{2} )^ \frac{1}{2})^2$ является натуральным числом

Answer 1

$((7+2\cdot10^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}+(7-2\cdot10^\frac{1}{2})^\frac{1}{2})^2= \\ =((7+2\cdot10^\frac{1}{2})^\frac{1}{2})^2+((7-2\cdot10^\frac{1}{2})^\frac{1}{2})^2+2\cdot(7+2\cdot10^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}(7-2\cdot10^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}= \\ =7+2\cdot10^\frac{1}{2}+7-2\cdot10^\frac{1}{2}+2\cdot((7+2\cdot10^\frac{1}{2})(7-2\cdot10^\frac{1}{2}))^\frac{1}{2}= \\ =14+2\cdot(7^2-(2\cdot10^\frac{1}{2})^2)^\frac{1}{2}= 14+2\cdot(49-4\cdot10)^\frac{1}{2}= \\ =14+2\cdot9^\frac{1}{2}=14+2\cdot3=14+6=20\in N$