Question

биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки равные, 10 и 40см. найти площадь треугольника

Answer 1

АВС - прямоугольный треугольник, СD - биссектриса.
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам - свойство биссектрисы треугольника.

АС - больший катет, СВ - меньший катет, АВ - гипотенуза
AD = 40 см
DB = 10 см
$\frac{AC}{AD}= \frac{CB}{DB} \\ \\ \frac{AC}{40}= \frac{CB}{10} \\ \\ AC=4CB$

По теореме Пифагора: АВ² = АС² + СВ²

(40 + 10)² = (4СВ)² + СВ²
50² = 16СВ² + СВ²
50² = 17СВ²

$CB= \sqrt{ \frac{50^2}{17}}= \frac{50}{ \sqrt{17}}$ см

$AC=4* \frac{50}{ \sqrt{17}}= \frac{200}{ \sqrt{17}}$ см

$S= \frac{1}{2}*AC*CB= \frac{1}{2}* \frac{50}{ \sqrt{17}}* \frac{200}{ \sqrt{17}}= \frac{10000}{2*17}=294 \frac{2}{17}$ см² - площадь прямоугольного треугольника