Question

На шахматную доску 8х8 случайно, сначала ставится король. После короля на доску ставится конь(тоже случайно). Какова вероятность того, что король окажется под боем?

Answer 1

Непростая задача. Количество клеток, с которых конь может бить короля, зависит от положения короля.
1) Если король стоит в углу, a1, то его можно побить с 2 клеток:
b3 и c2. Углов всего 4: a1, a8, h1, h8.
Вероятность, что король попадет в угол 4/64 = 1/16.
Вероятность, что конь попадет на одну из нужных клеток 2/63.
Знаменатель 63, а не 64, потому что осталось 63 свободных клетки.
Общая вероятность равна P1 = 1/16*2/63 = 1/(8*63)
2) Если король стоит на a2, то его можно побить с 3 клеток:
b4, c1, c3. Таких клеток 8: a2, a7, b1, b8, g1, g8, h2, h7.
Вероятность, что король попадет на такую клетку 8/64 = 1/8.
Вероятность, что конь попадет на одну из нужных клеток 3/63.
Общая вероятность равна P2 = 1/8*3/63 = 3/(8*63)
3) Если король стоит на a3, то его можно побить с 4 клеток:
b1, b5, c2, c4. Таких полей 16: a3 - a6, c1 - f1, c8 - f8, h3 - h6.
Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4.
Вероятность, что конь попадет на нужное поле 4/63.
Общая вероятность равна P3 = 1/4*4/63 = 1/63 = 8/(8*63)
4) Если король стоит на b2, то его можно побить с 4 клеток:
a4, c4, d3, d1. Таких клеток всего 4: b2, b7, g2, g7.
Вероятность королю попасть на такую клетку 4/64 = 1/16.
Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 4/63.
Общая вероятность равна P4 = 1/16*4/63 = 1/(4*63) = 2/(8*63)
5) Если король стоит на с2, то его можно побить с 6 клеток:
a1, a3, b4, d4, e1, e3. Таких клеток 16: b3 - b6, c2 - f2, c7 - f7, g3 - g6.
Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4.
Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 6/63.
Общая вероятность равна P5 = 1/4*6/63 = 6/(4*63) = 12/(8*63)
6) Если король стоит в середине доски, например, на d5.
Тогда его можно побить с 8 клеток: b4, b6, c3, c7, e3, e7, f4, f6.
Таких клеток всего 16: c3 - c6, d3 - d6, e3 - e6, f3 - f6.
Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4.
Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 8/63.
Общая вероятность равна P6 = 1/4*8/63 = 2/63 = 16/(8*63)
Итоговая вероятность равна сумме всех этих вероятностей.
P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 =
= 1/(8*63) + 3/(8*63) + 8/(8*63) + 2/(8*63) + 12/(8*63) + 16/(8*63) =
= (1 + 3 + 8 + 2 + 12 + 16) / (8*63) = 42/(8*63) = 21/(4*3*21) = 1/12
Ответ: 1/12