Question

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В в отношении 5 6 4, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 6.

Answer 1

Введем обозначения: биссектриса AE, высота BH, точка M пересечения биссектрисы и высоты, x - угол EAC (BAE), R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC. <AMH=90-x⇒<AMB=180-(90-x)=90+x. По теореме синусов (рассматриваем треугольник AMB) AB/sin(90+x)=BM/sinx,
AB/cosx=BM/sinx,
ABtgx=BM,
tgx=BM/AB.
Из треугольника ABH sin2x=BH/AB=9*BM/(5*AB)⇒9/5*tgx=sin2x,
sin2x*5/9=tgx,
10/9*sinx*cosx=sinx/cosx,
10cosx/9=1/cosx,
cosx=+-3√10/10, 0<x<π/2⇒cosx=3√10/10⇒sinx=√10/10⇒sin2x=3/5.
По теореме синусов (рассматриваем треугольник ABC) BC/sin2x=2R,
R=BC/2sin2x=6/(2*3/5)=5
Ответ: 5.