Question

Найти область сходимости степенного ряда. (подробно)

Answer 1

$\sum_{n=1}^{\infty}\, \frac{x^{n}}{3^{n}n^2}=\sum u_{n}(x)\\\\u_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)^2}\\\\lim_{n\to \infty}\, \frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=lim_{n\to \infty}\, \frac{|x|^{n+1}\cdot 3^{n}n^2}{3^{n+1}(n+1)^2\cdot |x|^{n}}=lim_{n\to \infty}\, \frac{|x|\cdot n^2}{3(n+1)^2}=\frac{|x|}{3}\ \textless \ 1\\\\|x|\ \textless \ 3\\\\-3\ \textless \ x\ \textless \ 3\; \; \to \; \; R=3\\\\x=3,\; \; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{3^{n}n^2}=\sum\frac{1}{n^2}\; -sxoditsya\\\\x=-3,\; \; \sum\frac{(-1)^{n}}{n^2}\; -\; absolutno\; sxoditsya$

Интервал сходимости  (-3,3)  ,область сходимости  [-3,3].