Question

Средняя линия равнобочной трапеции = 5см, а отрезок средней линии, что находиться между диагоналями = 3см.
Найти площадь трапеции, если прямые, содержащие боковые стороны, взаимно перпендикулярны.

Answer 1

Равнобочная трапеция АВСД (АВ=СД).
АВ и ДС пересекаются в точке О ( угол АОД прямой) 
Средняя линия МК=5 параллельна основаниям и равна их полусумме:
МК=(АД+ВС)/2, АД+ВС=5*2=10.
Диагональ АС пересекает МК в точке Е, а диагональ ВД  - в точке Н.
ЕН=3 см.
МК=МЕ+ЕН+НК=МЕ+НК+3
МЕ+НК=5-3=2
Рассмотрим ΔАВС и ΔДСВ - они равны по двум сторонам (АВ=СД и ВС - общая) и углу между ними (<ABC=<ДСВ, т.к. углы при основании  равнобедренной трапеции равны) Значит и средние линии этих треугольников равны МЕ=НК=2/2=1
ΔАВд подобен ΔМВН по 3 углам (накрест лежащие углы <ВАД=<ВМН и <ВДА=<ВНМ, угол В - общий)
АВ/МВ=АД/МН
Т.к. АВ=2МВ (МК- средняя линия), МН=МЕ+ЕН=4, то
2МВ/МВ=АД/4, 
АД=8 и ВС=10-8=2
Т.к. по условию ΔАОД - прямоугольный и равнобедренный, то значит углы при основании <A=<Д=45°.
Опустим высоту ВН на основание АД.
В прямоугольном ΔАВН <ВAН=<АВН=45°, значит треугольник равнобедренный АН=ВН=(АД-ВС)/2=6/2=3
 Площадь Sавсд=МК*ВН=5*3=15