Предмет: Математика,
автор: kuly1005265
Найти общее решение диффура методом вариации производных(методом Лагранжа)
y''+y=-ctg²(x)
Ответы
Автор ответа:
1
Данное уравнение - линейное неоднородное. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
.
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Оно имеет комплексные сопряженные корни
,
значит общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде
,
где
- некоторые пока неизвестные функции. Составим систему, из которой мы сможем найти эти неизвестные функции:
![\left \{ {{C_1'(x)cosx + C_2'(x)sinx = 0} \atop {-C_1'(x)sin(x)+C_2'(x)cosx=-ctg^2(x)}} \right. \left \{ {{C_1'(x)cosx + C_2'(x)sinx = 0} \atop {-C_1'(x)sin(x)+C_2'(x)cosx=-ctg^2(x)}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BC_1%27%28x%29cosx+%2B+C_2%27%28x%29sinx+%3D+0%7D+%5Catop+%7B-C_1%27%28x%29sin%28x%29%2BC_2%27%28x%29cosx%3D-ctg%5E2%28x%29%7D%7D+%5Cright.+)
Определитель данной системы равен:
.
Дополнительные определители равны:
.
Решение системы таково:
.
Это производные, а нам нужны сами функции. Значит ищем интегралы:
![C_1(x) = \int{\frac{cos^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{1-sin^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{dx}{sinx}}-\int{sinx}} \, dx = C_1(x) = \int{\frac{cos^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{1-sin^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{dx}{sinx}}-\int{sinx}} \, dx =](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%28x%29+%3D++%5Cint%7B%5Cfrac%7Bcos%5E2x%7D%7Bsinx%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%7B%5Cfrac%7B1-sin%5E2x%7D%7Bsinx%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bsinx%7D%7D-%5Cint%7Bsinx%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D)
.
![C_2(x) = -\int{ \frac{cos^3x}{sin^2x}} \, dx = -\int{ \frac{cos^2xd(sinx)}{sin^2x}} = \int{ \frac{sin^2x-1}{sin^2x}}\,d(sinx) = \int{d(sinx)} C_2(x) = -\int{ \frac{cos^3x}{sin^2x}} \, dx = -\int{ \frac{cos^2xd(sinx)}{sin^2x}} = \int{ \frac{sin^2x-1}{sin^2x}}\,d(sinx) = \int{d(sinx)}](https://tex.z-dn.net/?f=C_2%28x%29+%3D+-%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bcos%5E3x%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+-%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bcos%5E2xd%28sinx%29%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D+%3D+%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bsin%5E2x-1%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D%5C%2Cd%28sinx%29+%3D+%5Cint%7Bd%28sinx%29%7D)
, где
- произвольные константы.
Осталось только записать решение в общем виде:
.
При желании можно преобразовать полученный ответ.
Характеристическое уравнение имеет вид
Оно имеет комплексные сопряженные корни
значит общее решение однородного уравнения имеет вид
Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде
где
Определитель данной системы равен:
Дополнительные определители равны:
Решение системы таково:
Это производные, а нам нужны сами функции. Значит ищем интегралы:
Осталось только записать решение в общем виде:
При желании можно преобразовать полученный ответ.
Похожие вопросы
Предмет: Қазақ тiлi,
автор: Elamankz06
Предмет: Русский язык,
автор: m1rham3aev
Предмет: Русский язык,
автор: Каринка1999383832
Предмет: Литература,
автор: doforor
Предмет: История,
автор: Rgdhvcnv