Question

Найти общее решение диффура методом вариации производных(методом Лагранжа)
y''+y=-ctg²(x)

Answer 1

Данное уравнение - линейное неоднородное. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
$y'' + y = 0$.
Характеристическое уравнение имеет вид
$k^2 + 1 = 0$.
Оно имеет комплексные сопряженные корни 
$k_1_,_2 = \pm i$,
значит общее решение однородного уравнения имеет вид 
$\tilde{y} = C_1cosx + C_2sinx$.
Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде 
$y = C_1(x)cosx + C_2(x)sinx$,
где $C_1(x),C_2(x)$ - некоторые пока неизвестные функции. Составим систему, из которой мы сможем найти эти неизвестные функции:
$\left \{ {{C_1'(x)cosx + C_2'(x)sinx = 0} \atop {-C_1'(x)sin(x)+C_2'(x)cosx=-ctg^2(x)}} \right.$
Определитель данной системы равен:
$W = \left\begin{vmatrix}cosx&sinx\\-sinx&cosx\end{vmatrix}\right = cos^2x + sin^2x = 1$.
Дополнительные определители равны:
$\Delta_{C'_1(x)} = \left\begin{vmatrix}0&sinx\\-ctg^2x&cosx\end{vmatrix}\right = ctg^2x*sinx = \frac{cos^2x}{sinx} \\ \Delta_{C'_2(x)} = \left\begin{vmatrix}cosx&0\\-sinx&-ctg^2x\end{vmatrix}\right = -cosx*ctg^2x = -\frac{cos^3x}{sin^2x}$.
Решение системы таково:
$\left \{ {{C'_1(x)= \frac{\Delta_{C'_1(x)}}{W} } \atop {C'_2(x)= \frac{\Delta_{C'_2(x)}}{W}}} \right. \\ \left \{ {{C'_1(x)= \frac{cos^2x}{sinx}} \atop {C'_2(x) = -\frac{cos^3x}{sin^2x}}} \right.$.
Это производные, а нам нужны сами функции. Значит ищем интегралы:
$C_1(x) = \int{\frac{cos^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{1-sin^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{dx}{sinx}}-\int{sinx}} \, dx =$$-\int{\frac{d(cosx)}{sin^2x}} \, dx + cosx =\int{\frac{d(cosx)}{cos^2x-1}} \, dx + cosx = \frac{1}{2} ln| \frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1$.
$C_2(x) = -\int{ \frac{cos^3x}{sin^2x}} \, dx = -\int{ \frac{cos^2xd(sinx)}{sin^2x}} = \int{ \frac{sin^2x-1}{sin^2x}}\,d(sinx) = \int{d(sinx)}$$-\int{ \frac{d(sinx)}{sin^2x}} = sinx + \frac{1}{sinx} + C_2$, где $C_1,C_2$ - произвольные константы.
Осталось только записать решение в общем виде:
$y = (\frac{1}{2} ln| \frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1)cosx + (sinx + \frac{1}{sinx} + C_2)sinx$.
При желании можно преобразовать полученный ответ.