Question

Задание 4. Доказать, что при каждом n принадлежащем N число 7^2n-1 делится на 48

Задание 5. Доказать, что для любого n принадлежащего N справедливо равенство
1+2+3+⋯+n=1/2 n(n+1)

Задание 6. Доказать, что для любого n принадлежащего N справедливо равенство
1∙4+2∙7+3∙10+n(3n+1)=n〖(n+1)〗^2

Answer 1

 $7^{2n}-1$ положим что оно делиться на $48$ ,тогда методом математической индукций , оно должно делится и на         $n+1$ 
   $7^{2(n+1)}-1 = 7^{2n}*49-49+48 = (7^{2n}-1)*49+48$ откуда и следует утверждение , так как $7^{2n}-1$ делится на $48$ , а   $48$ делится на само себя , то и все выражение делится      на $48$ 
  
             
  Можно представить как арифметическую прогрессию и по формуле  
  $1+2+3+...+n\\ S_{ariph} = \frac{2*1+1*(n-1)}{2}*n = \frac{n+1}{2}*n$ 

    $1*4+2*7+3*10 + n(3n+1) = n*(n+1)^2$ 
 пусть оно верно для первого члена , тогда для последующего , получим    при   $n+1$    
    $1*4+....+n(3n+1)+(n+1)(3n+4 ) = (n+1)(n+2)^2 \\ n(n+1)^2+(n+1)(3n+4) = (n+1)((n+1) n + 3n+4) \\ (n+1)( n^2+4n+4) = (n+1)(n+2)^2$ 
  
   
 Верно