Question

Вообщем есть задача из учебника и ответ к ней. Мне не понятно её изложение:
Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
Ответ — 6
Как я это понимаю: есть два числа, например a и b. Число a мы умножали на 2 и 3. Число b и возводили в квадрат и в куб:
$a\cdot2$ затем $2a\cdot3=6a$
Значит $6a=b^3$
 Если это число 6 то $6^3=216\qquad6^2=36\\ 216/3=72$
Но $72 \neq 36$
Значит условие задачи написано неправильно или я чего-то недопонял?

Answer 1

Нужно найти наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 даст полный квадрат, а при умножении на 3 - полный куб.
Обозначим искомое число за $x$. Любое число можно представить в виде произведения простых множителей. Запишем:
$x = 2^n * 3^m*k$, где $n,m,k$ - некоторые натуральные числа.
По условию, число $2x = 2^{n+1}*3^m*k$ является полным квадратом, значит $n+1$ и $m$ - четные числа, а $k$ - полный квадрат. Аналогично, число $3x = 2^n*3^{m+1}*k$ является полным кубом, значит $n$ и $m+1$ делятся на 3, а $k$ - полный куб.
Легко видеть, что наименьшие возможные значения $n,m,k$ это $n = 3, m = 2, k = 1$, значит $x = 2^3*3^2*1 = 72$.