Question

Помогите с несобственным интегралом!!!
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
$intlimits^5_3 { frac{x}{ sqrt[4]{x^{2}-9 } } } , dx$

Answer 1

Чуть накосячили с LaTeXом.
$\int\limits^5_3 { \frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx$
Найдем соответствующий неопределенный интеграл:
$J(x) = \int\frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx$
Сделаем замену $x = 3cht$, тогда
$\sqrt[4]{x^2-9} = \sqrt[4]{9ch^2t-9} = \sqrt[4]{9sh^2t} = \sqrt{3sht} \\ dx = 3sht$.
Подставим в интеграл:
$J(x) = \int\frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx = \int{ \frac{9shtcht}{ \sqrt{3sht}} } \, dt = 3\sqrt{3}\int{cht\sqrt{sht}} \, dt = 3\sqrt{3}\int{\sqrt{sht}} \,d(sht) =$$3 \sqrt{3} \frac{sh^ \frac{3}{2} t}{ \frac{3}{2} } = 2\sqrt{3}(ch^2t-1)^\frac{3}{4}+C$.
Делаем обратную замену:
$J(x) = 2\sqrt{3}( \frac{x^2}{9} -1)^\frac{3}{4}+C = \frac{2\sqrt{3}( x^2 -9)^\frac{3}{4}}{9^\frac{3}{4}} + C= \frac{2\sqrt{3}( x^2 -9)^\frac{3}{4}}{3\sqrt{3}} + C =$$\frac{2}{3} (x^2-9)^ \frac{3}{4} + C$.
Возьмем значение произвольной постоянной $C = 0$.
Наконец, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
$\int\limits^5_3 { \frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx = J(5) - J(3) = \frac{2}{3} * 16^ \frac{3}{4} = \frac{16}{3}$.