Question

Решите, пожалуйста, уравнения с корнями(иррациональные уравнения.)

Answer 1

$\sqrt{x+1}+ \sqrt{2x+3} =1$

ОДЗ:
$\left \{ {{x+1 \geq 0} \atop {2x+3 \geq 0}} \right.$

$\left \{ {{x \geq -1} \atop {x \geq -1.5} \right.$

$x$ ∈ $[-1;+$∞$)$

$(\sqrt{x+1}+ \sqrt{2x+3})^2 =1^2$

$x+1+2x+3+2 \sqrt{(x+1)(2x+3)} =1$

$2 \sqrt{(x+1)(2x+3)} =-3x-3$

$-3x-3 \geq 0$
$x \leq -1$

$4(2 x^{2} +3x+2x+3)=9 x^{2} +9+18x$

$8 x^{2} +20x+12=9 x^{2} +9+18x$

$x^{2} -2x-3=0$

$D=4+12=16$
$x_1=-1$
$x_2=3$  не подходит

Ответ: $-1$

№ 2
$\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2} =7$

ОДЗ:
$\left \{ {{x+3 \geq 0} \atop {3x-2 \geq 0}} \right.$

$\left \{ {{x \geq -3} \atop {x \geq \frac{2}{3} }} \right.$

$x$ ∈ $[ \frac{2}{3} ;+$∞$)$

$( \sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2})^2 =7^2$

$x+3+3x-2+2 \sqrt{(x+3)(3x-2)} =49$

$2 \sqrt{(x+3)(3x-2)} =48-4x$

$\sqrt{(x+3)(3x-2)} =24-2x$

$24-2x \geq 0$
$-2x \geq -24$
$x \leq 12$

$( \sqrt{(x+3)(3x-2)})^2 =(24-2x)^2$

$(x+3)(2x-3)=576+4 x^{2} -96x$

$3 x^{2} -2x+9x-6=576+4 x^{2} -96x$

$x^{2} -103x+582=0$

$D=10609-2328=8281=91^2$
$x_1=6$
$x_2=97$  не подходит

Ответ: $6$