Question

Вопрос 17 17
Театральный прожектор в форме конуса, осевое сечение которого — правильный треугольник, находится на потолке сцены
на высоте 5 метров над ней и освещает участок сцены в форме круга.
Найдите радиус освещенного участка. Ответ округлите до десятых.

Answer 1

Выполним рисунок.
Замечание 1. Считаем высоту от пола до вершины конуса прожектора.
Замечание 2. Считаем, что прожектор по сути лампа с абажуром, т.е. Фокусирующей системы нет. Иначе все будет намного веселее.
Тогда получится, что световой поток сформируется в виде конуса, подобного конусу абажура. Вот его осевое сечение мы и нарисуем.
Получим правильный треугольник АВС, при этом нам известна его высота BK=5м. Радиус, который требуется найти, это на нашем чертеже половина основания AC (AK=AC/2) (BK это по совместительству еще медиана и биссектриса)
Углы треугольника ABC равны между собой и равны 60°. В частности угол α. Из прямоугольного треугольника ABK находим его гипотенузу AB, зная катет BK и противолежащий угол α.
$AB= \frac{BK}{sin \alpha } = \frac{5}{sin(60^o)} = \frac{5\cdot 2}{ \sqrt{3} } = \frac{10}{ \sqrt{3} }$
Поскольку ABC правильный (то бишь равносторонний), то AB=AC
Значит $AC= \frac{10}{ \sqrt{3} }$
$AK= \frac{10}{ 2\sqrt{3} } =\frac{5}{ \sqrt{3} } \approx 2,9$ м

Можно было несколько иначе
Из треугольника ABK
$tg \alpha = \frac{BK}{AK}$
Значит катет AK
$AK= \frac{BK}{tg( \alpha )} =\frac{5}{tg( 60^o )}= \frac{5}{ \sqrt{3}} \approx 2,9$