Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!! Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна 2. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин этого четырехугольника не меньше 0,5.

Answer 1

 Воспользуемся тем , что в любом четырехугольнике , сумма диагоналей больше полупериметра , следствие неравенство треугольников         
 $0.5P\ \textless \ 2\\ P\ \textless \ 4 \\ AB+CD+AD + CD \ \textless \ 4$ 
 Если некая точка      $M$ лежит $ABCD$ , то 
 По неравенству треугольников  
 $MB+MC\ \textgreater \ BC\\ MB+MA\ \textgreater \ AB\\ MC+MD\ \textgreater \ CD\\ MD+MA\ \textgreater \ AD$ 
 Суммируя 
  $MA+MB+MC+MD \ \textgreater \ \ \frac{AB+BC+AD+CD}{2} \\ MA+MB+MC+MD\ \textgreater \ \frac{AB+BC+AD+CD}{2}\ \textgreater \ 2$
 
Откуда и следует утверждение