Question

Помогите с логариф.уравнением по формуле перехода к новому основанию

$log _{2x+1}(5+8x-4x^{2} )+log_{5-2x}(1+4x+4 x^{2} )=4$

Одну часть разложил на множители, а вторая не хочет.

Answer 1

ОДЗ: $\begin{cases} 2x+1\ \textgreater \ 0,\ 2x+1 \neq 1; \\ 5-2x\ \textgreater \ 0,\ 5-2x \neq1; \\ (5-2x)(2x+1)\ \textgreater \ 0; \\ (2x+1)^2\ \textgreater \ 0 \end{cases}\ =\ \textgreater \ \begin{cases} x\ \textgreater \ -1/2,\ x \neq 0; \\ x\ \textless \ 2,5;\ x \neq2; \\ x \in (-1/2;\ 2,5); \end{cases} =\ \textgreater \ \\ \\ \boxed{ x \in (-0,5;0) \cup (0;2) \cup (2; 2,5)}$
Решаем уравнение:
$log_{2x+1}(5-2x)(2x+1)+log_{5-2x}(2x+1)^2=4$
$log_{2x+1}(5-2x)+log_{2x+1}(2x+1)+2log_{5-2x}(2x+1)=4 \\ log_{2x+1}(5-2x)+1+2log_{5-2x}(2x+1)=4 \\ \dfrac{1}{log_{5-2x}(2x+1)}+2log_{5-2x}(2x+1)=3 \\ \\ 3AMEHA:\ \ log_{5-2x}(2x+1)=t \\ \frac{1}{t}+2t=3 \\ 2t^2-3t+1=0 \\ t_1=1,\ t_2=0,5$
1) 
$log_{5-2x}(2x+1)=1 \\ 5-2x=2x+1 \\ x=1\ \in OD3$
2) 
$log_{5-2x}(2x+1)=0,5 \\ 2x+1=\sqrt{5-2x} \\ 4x^2+4x+1=5-2x \\ 2x^2+3x-2=0\\ x=-2 \notin OD3 \\ x=0,5 \in OD3$
Ответ: 0,5; 1.

Answer 2

Смотреть во вложении