Question

1. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не является квадратом целого числа.
2. Доказать, что если р - простое число, большее или равное пяти, то остаток от деления р в квадрате на 12 равен 1.

Answer 1

1) Т.к. остатки от деления квадратов пяти последовательных чисел на 4 имеют вид 0,1,0,1,0 или 1,0,1,0,1, то сумма этих квадратов имеет остаток 2 или 3, т.е. быть квадратом не может, т.к. квадрат при делении на 4 дает остатки только 0 или 1.
2) Т.к. квадрат нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1, то p²-1 делится на 4. Т.к. квадрат нечетного числа не кратного трем (а наше р не кратно 3) дает остаток 1, то p²-1 делится на 3. Значит, p²-1 делится на 12.