Question

Объясните подробно, пожалуйста, как это решать.
$||x+1|-|x-3||=|x|$

Answer 1

модуль-величина неотрицательная, а раз левая и правая части уравнения неотрицательные, то можно возводить в квадрат, то есть:
||x+1|-|x-3||=|x|
(|x+1|-|x-3|)²=x²
теперь осталось всего 2 модуля:|x+1| и |x-3|
сейчас нужно узнать с какими знаками раскрывать эти модули, для этого выражения под модулем нужно приравнять к нулю:
(x+1)=0     х=-1
(x-3)=0      х=3
покажем интервал:
(x+1)      -               +                +
(x-3)       -               -                 +
-------------------------------------------------------->
                    -1                  3
получилось 3 интервала, значит нужно решить систему из 3 уравнений:
система:
(-(x+1)+(x-3))²=x²      при x<-1
((x+1)+(x-3))²=x²       при  -1≤x≤3
((x+1)-(x-3))²=x²        при x>3
раскрываем скобки
система:
(-х-1+х-3)²=х²        при x<-1
(х+1+х-3)²=х²        при  -1≤x≤3
(х+1-х+3)²=х²        при x>3
система:
х²=16                    при x<-1
4х²- 8х+4=х²             при  -1≤x≤3
х²=16                      при x>3
система:
х=-4                    при x<-1
х=4                      при x>3
 3х²-8х+4=0
D=64-48=16
x₁=(8-4)/6=2/3          при  -1≤x≤3
x₂=(8+4)/6=2
отв:4; -4; 2; 2/3