Question

Дан прямоугольный треугольник abc угол с=90 гипотенуза ab равна 16 а площадь 32 корень из 3 найдите острые углы треугольника.

Answer 1

$ABC$  - прямоугольный треугольник
$\ \textless \ C=90^\circ$
$S_{ABC} =32 \sqrt{3}$
$AB=16$
$CH$ - высота, опущенная на гипотенузу
$S_{ABC} = \frac{1}{2} CH*AB$

$\frac{1}{2} CH*16=32 \sqrt{3}$

$8CH=32 \sqrt{3}$

$CH=4 \sqrt{3}$
Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между длинами проекций катетов на гипотенузу, т. е.
$CH^2=AH*BH$

пусть $AH=x$, тогда $BH=16-x$

$(4 \sqrt{3} )^2=x*(16-x)$

$48=16x-x^2$

$x^2-16x+48=0$
$D=256-192=64$
$x_1=12$    $16-12=4$
$x_2=4$      $16-4=12$

$AH=4$
$HB=12$

$CHB$ - прямоугольный
$\frac{CH}{HB} =tg\ \textless \ B$

$\frac{4 \sqrt{3} }{12} =tg\ \textless \ B$

$tg\ \textless \ B= \frac{ \sqrt{3} }{3}$

$\ \textless \ B=30^\circ$

$\ \textless \ A=180^\circ -(90^\circ +30^\circ )=60^\circ$

Ответ: $30^\circ$ ;  $60^\circ$