Question

Даны три различных натуральных числа, причем сумма любых двух из этих чисел делится на оставшееся. Докажите, что одно из этих чисел втрое больше другого.

Answer 1

 Положим что числа  равны $a;b;c$ 
тогда по условию $\frac{a+b}{c}=k\\ \frac{b+c}{a}=n\\ \frac{a+c}{b}=m$ 
$k;n;m \in N$ 
Положим  
$\frac{a}{c}=q; \frac{b}{c}=w ; \\ \\ \frac{w}{q}+\frac{1}{q}=n \\ \frac{q}{w}+\frac{1}{w}=m \\ q+w=k ;$ 
  числа  так же  $n;m;k \in N$
 Суммируя 
  $\frac{q+1}{w}+\frac{w+1}{q}+2 = n + m \\ w\ \textgreater \ 1$ 
  очевидно что $q=3 ; w=2$ единственно  , так как 
  $q-1\ \textless \ w\ \textless \ q+1$      
  Откуда     $q= w$ что неверно , потому что числа разные 
  Значит одно из чисел больше в три раза другого  
  
  Теперь пусть  
  $a+b$ нацело делится на $c$  
  $a+b=c*k\\ b+c=a*n\\ a+c=b*m$ 
  откуда получаем        
     $\frac{b}{c} = \frac{n+1}{mn-1}\\ \frac{a}{c}= \frac{(m+1)(m+n+2)}{(n+2)(mn-1)}$  
  По таким же рассуждениям , как выше получаем , что одно из чисел больше второго в  три раза