Question

найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р (2;0;-1) и Q (1;-1;3) и перпендикулярной плоскости 3*x+2*y-z+5=0

Answer 1

Пусть М(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.
Тогда векторы МР; РQ  и n - нормальный вектор плоскости  3x+2y-z+5=0  коллинеарны.
Условием коллинеарности является равенство нулю определителя третьего порядка составленного из координат этих векторов.
Находим координаты векторов
МР(2-x;0-y;-1-z) 
PQ(1-2;-1-0;3-1)= PQ(-1;-1;2)
n=(3;2;-1)
Записываем определитель
$\left\begin{array}{ccc}2-x&-y&-1-z\\-1&-1&2\\3&2&-1\end{array}\right =0$
Нет знака модуля на клавиатуре для обозначения определителя.
Раскрываем определитель и получаем ответ.
-3(2-x)+y(-5)+(-1-z)1=0
-6+3x-5y-1-z=0
3x-5y-z-7=0
нормальный вектор этой плоскости (3;-5;-1)  ортогонален нормальному вектору n(3;2;-1) Их скалярное произведение - сумма произведений одноименных координат- равно 0
3·3+(-5)·2+(-1)·(-1)=0 - верно

Ответ. 3х-5у-z-7=0